"Геометрическая прогрессия в русских задачах"

 

"Геометрическая прогрессия в русских задачах в древности и в наши дни"

 

   В России, с глубокой древности применялись свойства геометрических прогрессий для решения различных задач, примером служат различные русские исторические сборники, например:

 

Прогрессии в первом учебнике математики России

 

   Значительное количество задач на прогрессии имеется в первом учебнике в России «Арифметика»- Л.Ф.Магницкого (1703 год), который в течение полувека был учебником по математике на Руси, его называл «вратами учёности» М.В.Ломоносов. Прогрессии в «Арифметике» Л.Ф.Магницкого включены в пятую часть книги «О прогрессиях и радиксах квадратных и кубических». Вот одна их них.

 

    Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определите, сколько весят все чарки. (162 лата).

 

   Садовник продал первому покупателю половину яблок и ещё пол-яблока, второму- половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока, третьему- половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока и т. д., седьмому половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока. После этого у него яблок не осталось. Сколько яблок было у садовника?

 

Прогрессии в поэзии

 

 

   В «Евгении Онегине» мы читаем «…Не мог он ямба от хорея
Как мы не бились отличить…».  Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб – это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8;…Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2. 

Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечетные слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7;..

Ямб. «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…», прогрессия 2; 4; 6; 8;… 

Хорей. «Я пропАл, как звЕрь в загОне»Б. Л. Пастернак. «БУря  мглОю  нЕбо  крОет» А.С. Пушкин, прогрессия 1; 3; 5;7.

 

 

Прогрессии в литературных сюжетах

 

   Различные истории, связанные с начислением простых и сложных процентов, встречаются в ряде художественных произведений, в исторических документах и преданиях. Вот некоторые примеры.

В романе М. Е. Салтыкова – Щедрина «Господа Головлёвы» есть такой эпизод. «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывает цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька, Арина Петровна, подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей ассигнациями, не присвоила себе, а положила бы в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей ассигнациями».

 

   В этом же романе сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты 3000 рублей и попросил у бабушки эту сумму взаймы. Он говорил: «Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитаем, сколько денег готов был вернуть Петя через год, согласись бабушка на его условия.

   Если вести расчёт по сложным процентам, то Петя вернул бы бабушке

5400 (рублей). Если вести расчёт по простым процентам, то Петя вернул бы бабушке 4800 (рублей).

Однако, не веря внуку, бабушка денег не дала!

 

 

 

Задачи на прогрессии в учебниках 20 века

 

 

   В учебнике «Сборник алгебраических задач» (часть вторая, авторы Шапочников Н.А., Вальцов Н.К.; Москва, Ленинград, Учпедгиз, 1949), есть двадцать задач, связанных с прогрессиями. Вот некоторые из них.

1.       Работники нанялись вырыть колодезь с таким условием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили 40 копеек, а за каждый следующий         15-ю копейками больше, чем за предыдущий. Сколько аршин вырыли они, если за всю работу получили 16 р. 90 к.?

2.       Два тела движутся навстречу одно другому из двух мест, находящихся в расстоянии 153 футов. Первое проходит по 10 футов в секунду, а второе в первую секунду прошло 3 фута и в каждую следующую секунду проходит 5-ю футами больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд тела  встретятся?

3.       Числа   градусов,   содержащихся   в       последовательных  внутренних   углах  некоторого многоугольника, составляют прогрессию,  разность которой 10; наименьший угол этого многоугольника 100°. Сколько в многоугольнике сторон?

 

           Также свойства геометрических прогрессий применяются и в наши дни

 

 

Задачи на прогрессии в занимательных книгах по математике

 

   Я.И.Перельман автор большого количества занимательных книг, в которых тоже есть задачи на прогрессии. Вот одна  из них. Удивительно, как быстро разбегаются по посёлку слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого– нибудь происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела весь посёлок: все о ней знают, все слышали. Итак, задача:

 «В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка?». Эту задачу можно решить логически и, применяя понятие прогрессии.

Итак, в 8. 15 утра новость была известна только четверым: приезжему и трём местным жителям. Узнав эту новость, каждый из трёх граждан поспешил рассказать её трём другим. Это потребовало также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней узнали уже  4+3·3=13 человек. Каждый из девяти вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с тремя другими гражданами, так что к 8.45 утра новость стала известна 13+9·3= 40 гражданам. Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию:

   в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек);

      9.15                           121+81 ·3 =364 (человек);

      9.30                           364+243 ·3=1093 (человек);

      9.45                           1093+729 ·3=3280 (человек);

     10.00                          3280 + 2187 ·3 =9841(человек).

      Анализируя задачи, легко заметить, что они все имеют практическое содержание.

 

  

Прогрессии в Экономике

                                  

Денежные вклады под проценты — это пример геометрической последовательности, в которой мы встречаемся с понятием «сложные проценты». Зная формулы суммы членов геометрической последовательности, можно подсчитывать сумму на вкладе.  

 

 

Прогрессии на производстве:

   Директоры двух заводов А и В встретились на совещании. Из их беседы выяснилось, что оба завода выпустили за последний год одинаковые количества продукции, а именно по 1000 т металлических изделий. На совещание было решено добиваться дальнейшего роста продукции, причём был намечен ежегодный прирост на 40%.

   Директор завода А выполнял задание следующим образом. В первый год после совещания его завод выпустил на 40% больше, в каждый последующий - на 40% больше, чем в первый.

   Директор завода В поступил иначе. За первый год после совещания он выпустил на 40% больше, в каждый последующий - на 40% больше, чем в предыдущий. Результаты представлены на графике.  

 

 

Прогрессии в Биологии.

 

 

   Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.

 

   Интенсивность размножения организмов ОДУВАНЧИК… «Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара». К. А. Тимирязев ТЛИ… Всего за 5 поколений, т.е за 1-1,5 летних месяца одна единственная тля может оставить около 300 млн потомков, а за год её потомство способно покрыть поверхность Земного шара слоем толщиной почти 1м В сего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев, дна единственная тля может оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр.

 

 

Прогрессии в Химии.

 

 

   При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растёт по геометрической прогрессии.

 

 

Прогрессии в Геометрии

 

 

 

   Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.

 

 Прогрессии в Физике

 

 

   Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются 2 нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их ещё на 4части и т. д. — это геометрическая прогрессия.

 

 Вывод:

   Итак, мы делаем вывод, что понятие «прогрессия» возникло и исторически развивалось из практической деятельности человека, это подтверждают задачи, дошедшие до нас из древности. А также, мы видим широкое применение свойств прогрессии при решении современных задач в различных областях науки и культуры в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине, в сельском и коммунальном хозяйствах, в банковских расчетах и т. д., а значит математика – является частью общечеловеческой культуры.

 

 

 Источники информации:

•         https://infourok.ru/istoriya-vozniknoveniya-arifmeticheskoy-i-geometricheskoy-progressiy-2263240.html
•              Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е. . -М.: Мнеозина, 2015г.;
•              Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник  для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. -М. :Дрофа, 2015г.;
•             Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990г.
•             Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989г.
•            http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm 
•            http://students.tspu.ru/students/legostaeva/index.php?page=op 
•            http://festival.1september.ru/articles/568100/ 

  

                                                                                                                              Следующая страница...